Определитель методом гаусса

Вычисление определителя матрицы, примеры, решения. Понятие определителя является одним из основных в курсе линейной алгебры. Это понятие присуще ТОЛЬКО КВАДРАТНЫМ МАТРИЦАМ, этому понятию и посвящена данная статья. Здесь мы будем говорить об определителях матриц, элементами которых являются действительные или комплексные числа. В этом случае определитель есть действительное или комплексное число. Все дальнейшее изложение определитель методом гаусса ответом на вопросы как вычислять определитель, и какими свойствами он обладает. Сначала дадим определение определителя квадратной матрицы порядка n на n как сумму определитель методом гаусса перестановок элементов матрицы. На основании этого определения запишем формулы для вычисления определителей матриц первого, второго, третьего порядков и подробно разберем решения нескольких примеров. Далее перейдем к свойствам определителя, которые будем формулировать в определитель методом гаусса теорем без доказательства. Здесь будет получен метод вычисления определителя через его разложение по элементам какой-либо строки или столбца. Этот метод позволяет свести вычисление определителя матрицы порядка n на n к вычислению определителей матриц порядка 3 на 3 или меньшего. Обязательно покажем решения нескольких примеров. В заключении остановимся на вычислении определителя методом Гаусса. Этот метод хорош при нахождении значений определителей матриц порядка выше 3 на 3, так как определитель методом гаусса меньших вычислительных усилий. Также разберем решение примеров. Определение определителя матрицы, вычисление определителя матрицы по определению. Напомним несколько вспомогательных понятий. Перестановкой порядка n называется упорядоченный набор чисел, состоящий из n элементов. Для множества, содержащего n элементов, существует n! Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов. Например, рассмотрим множество, состоящее из трех чисел:. Запишем все перестановки всего их шесть, так как : Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов p и q, для которой p-ый элемент перестановки больше q-ого. Нас будет больше интересовать определитель методом гаусса инверсий в перестановке, а не сама инверсия. Пусть - квадратная матрица порядка n на n над определитель методом гаусса действительных или комплексных чисел. Определитель методом гаусса — множество всех перестановок порядка n множества. Обозначим k—ую перестановку множества кака количество инверсий в k-ой перестановке как. Определитель матрицы А есть число, равное. Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки из каждого столбца матрицы Определитель методом гаусса k-ым слагаемым появляется коэффициент -1если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно. Определитель матрицы А обычно обозначается определитель методом гауссатакже встречается обозначение det Также можно услышать, что определитель называют детерминантом. Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы. Вычисление определителя квадратной матрицы второго порядка - формула и пример. Найдем определитель квадратной матрицы порядка 2 на 2 в общем виде. Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы. Имеем Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 2 на 2, она имеет вид. Применяем полученную формулу : Вычисление определителя квадратной матрицы третьего порядка - формула и пример. Найдем определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3 в общем виде. Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы. Имеем Определитель методом гаусса образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3, она имеет вид Аналогично можно получить формулы для вычисления определителей матриц порядка 4 на 4, 5 на 5 и более высоких. Они будут иметь очень громоздкий вид. В нашем примере Применяем полученную формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка: Формулы для вычисления определителей квадратных определитель методом гаусса второго и третьего определитель методом гаусса очень часто применяются, так что рекомендуем их запомнить. Свойства определителя матрицы, вычисление определителя матрицы с использованием свойств. На основании озвученного определения справедливы следующие свойства определителя матрицы. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы А Т, то есть. Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3: Транспонируем матрицу А: Вычислим определитель транспонированной матрицы: Действительно, определитель транспонированной матрицы равен определитель методом гаусса исходной матрицы. Если в квадратной определитель методом гаусса все элементы хотя бы одной из строк одного из столбцов нулевые, определитель такой матрицы равен нулю. Действительно, определитель матрицы с нулевым столбцом равен нулю. Если переставить местами две определитель методом гаусса строки столбца в квадратной матрице, то определитель полученной матрицы будет определитель методом гаусса исходному то есть, изменится знак. Матрица В получена из матрицы А заменой третьей строки на первую, а первой на определитель методом гаусса. Согласно рассмотренному свойству определители таких матриц должны определитель методом гаусса знаком. Проверим это, вычислив определители по известной формуле. Если в квадратной матрице хотя бы две строки два столбца одинаковы, то ее определитель равен нулю. В данной матрице второй и третий столбцы одинаковы, так что согласно рассмотренному свойству ее определитель должен быть равен нулю. На самом деле определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами есть ноль. Если в квадратной матрице все элементы какой-либо строки столбца умножить на некоторое число k, то определитель полученной матицы будет равен определителю исходной матрицы, определитель методом гаусса на k. Например, Элементы первого столбца матрицы В получены из соответствующих элементов первого столбца матрицы А умножением на 3. Тогда в силу рассмотренного свойства должно выполняться равенство. Проверим это, вычислив определители матриц А и Следовательно,что и требовалось доказать. Не путайте и не смешивайте понятия матрицы и определителя! Рассмотренное свойство определителя матрицы и это далеко не одно и то же. Если все определитель методом гаусса какой-либо строки столбца квадратной матрицы представляют собой сумму s слагаемых s — натуральное число, большее единицыто определитель такой матрицы будет равен сумме s определителей матриц, полученных из исходной, если в качестве элементов строки столбца оставить по одному слагаемому. Например, В нашем примерепоэтому в определитель методом гаусса рассмотренного свойства определителя матрицы должно выполняться равенство. Проверим его, вычислив соответствующие определители матриц порядка 2 на определитель методом гаусса по формуле. Из полученных результатов видно, что. На этом доказательство завершено. Если к элементам некоторой строки столбца матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки столбцаумноженные на произвольное число k, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы. Убедитесь, что если к элементам третьего столбца матрицы прибавить соответствующие элементы второго столбца этой матрицы, умноженные на -2и прибавить соответствующие элементы первого столбца матрицы, умноженные на произвольное действительное числото определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной определитель методом гаусса. Если отталкиваться от рассмотренного свойства определителя, то определитель матрицы, полученной после всех указанных в задаче преобразований, будет равен определителю матрицы Сначала вычислим определитель исходной матрицы А: Теперь выполним необходимые преобразования матрицы Прибавим к определитель методом гаусса третьего столбца матрицы соответствующие элементы второго столбца матрицы, предварительно умножив их на -2. После этого матрица примет вид: К элементам определитель методом гаусса столбца полученной матрицы прибавим соответствующие элементы первого определитель методом гаусса, умноженные на : Вычислим определитель полученной матрицы и убедимся, что он равен определителю матрицы А, то есть, -24: Определитель квадратной матрицы равен сумме определитель методом гаусса элементов какой-либо строки столбца на их алгебраические дополнения. Здесь - алгебраическое дополнение элемента матрицы. Это определитель методом гаусса позволяет вычислять определители матриц порядка выше чем 3 на 3 путем сведения их к сумме нескольких определителей матриц порядка на единицу ниже. Иными словами — это рекуррентная формула вычисления определителя квадратной матрицы любого порядка. Рекомендуем ее запомнить в силу достаточно частой определитель методом гаусса. Используем формулу разложения определителя по элементам 3-ей строки Имеем Так задача нахождения определителя матрицы порядка 4 на 4 свелась к вычислению трех определителей матриц порядка 3 на 3: Подставив полученные значения, приходим к результату: Используем формулу определитель методом гаусса определителя по элементам 2-ого столбца и действуем аналогично. Не будем подробно расписывать вычисление определителей матриц третьего порядка. Можно разложить определитель матрицы по элементам любого столбца или любой строки, однако выгоднее выбирать строку или столбец, содержащую наибольшее количество нулевых элементов, так как это поможет избежать лишних вычислений. Разложим определитель по элементам первой строки: Вычислим полученные определители матриц порядка 3 на 3 по известной нам формуле: Подставляем результаты и получаем искомое значение В четвертой строке матрицы наибольшее количество нулевых определитель методом гаусса среди всех строк и столбцов, поэтому целесообразно разложить определитель матрицы именно по элементам четвертой строки, так как в этом случае нам потребуется меньше вычислений. Полученные определители матриц порядка 4 на 4 были найдены в предыдущих примерах, так что воспользуемся готовыми результатами: Определитель методом гаусса следует сразу бросаться раскладывать определитель по элементам какой либо строки или столбца. Если внимательно посмотреть на матрицу, то можно заметить, что элементы шестой строки матрицы можно получить умножением соответствующих элементов второй строки на двойку. То есть, если к элементам шестой строки прибавить соответствующие элементы второй строки, умноженные на -2то определитель не изменится в силу седьмого свойства, а шестая строка полученной матрицы будет состоять из нулей. Определитель такой матрицы равен нулю по второму свойству. Следует отметить, что рассмотренное свойство позволяет вычислить определители матриц любых порядков, однако приходится выполнять массу вычислительных операций. В большинстве случаев определитель матриц порядка выше третьего выгоднее находить методом Гаусса, который мы рассмотрим ниже. Сумма произведений элементов какой-либо строки столбца квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки столбца равна нулю. Покажите, что сумма произведений элементов третьего столбца матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца равна нулю. Найдем сначала произведение определителей матриц А и В: Сейчас выполним умножение матриц и вычислим определитель получившейся матрицы: Таким образом,что и требовалось показать. Вычисление определителя матрицы методом Гаусса. Опишем суть этого метода. Матрица А с помощью элементарных преобразований приводится к такому виду, чтобы в первом столбце все элементы, кроме стали нулевыми это сделать всегда возможно, если определитель матрицы А отличен от нуля. Эту процедуру опишем чуть позже, а сейчас поясним, для чего это делается. Нулевые элементы получаются для того, чтобы получить самое простое разложение определителя по элементам первого столбца. После такого преобразования матрицы А, учитывая восьмое свойство иполучим где - минор n-1 -ого порядка, получающийся из матрицы А вычеркиванием элементов ее первой строки и первого столбца. С матрицей, которой соответствует минорпроделывается такая же процедура получения нулевых элементов в первом столбце. И так далее до окончательного вычисления определителя. Теперь осталось ответить на вопрос: «Как получать нулевые элементы в первом столбце»? Еслито к элементам первой строки матрицы прибавляются соответствующие элементы k-ой строки, в которой. Если все без исключения определитель методом гаусса первого столбца матрицы А нулевые, то ее определитель равен нулю по второму свойству и не нужен никакой метод Гаусса. После такого преобразования «новый» элемент будет отличен от нуля. Определитель «новой» матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства. Теперь мы имеем матрицу, у которой. При к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные нак элементам третьей строки — соответствующие элементы первой строки, умноженные на. В заключении к элементам n-ой строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на. Так будет получена преобразованная матрица А, все элементы первого столбца которой, кромебудут нулевыми. Определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы определитель методом гаусса силу седьмого свойства. Разберем метод при решении примера, так будет понятнее. Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы ее первого столбца, кроместали определитель методом гаусса. Так как изначально элементто прибавим к элементам первой строки матрицы соответствующие элементы, определитель методом гаусса, второй строки, так как : Знак « ~ » означает эквивалентность. Теперь прибавляем к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные нак элементам третьей строки — соответствующие элементы первой строки, умноженные наи аналогично действуем вплоть до шестой строки: Получаем С матрицей проводим ту же процедуру получения нулевых элементов в первом столбце: Следовательно, Сейчас выполняем преобразования с матрицей : Получаем Матрица уже имеет необходимый вид, поэтому. Определитель методом гаусса решение еще одного примера, но подробно описывать действия не определитель методом гаусса. Это некоторый образец краткой записи вычисления определителя матрицы методом Гаусса. На некотором этапе преобразования матрицы по методу Гаусса определитель методом гаусса возникнуть ситуация, когда все элементы нескольких последних строк матрицы станут нулевыми. Это будет говорить о равенстве определителя нулю. Определителем квадратной матрицы, элементы которой есть числа, является число. Мы рассмотрели три способа вычисления определителя: через сумму произведений сочетаний элементов матрицы; через разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы; методом приведения определитель методом гаусса к верхней треугольной методом Гаусса. Были получены формулы определитель методом гаусса вычисления определителей матриц порядка 2 на 2 и 3 на 3. Мы разобрали свойства определителя матрицы. Некоторые из них позволяют быстро понять, что определитель равен нулю. При вычислении определителей матриц порядка выше 3 на 3 целесообразно использовать метод Гаусса: выполнить элементарные преобразования матрицы и привести ее к верхней треугольной. Определитель такой матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали. Copyright © by cleverstudents Все права защищены. Охраняется законом об авторском праве.

Также смотрите:

Комментарии:
  • Сергей Сергеев

    13.12.2015

    Обязательно покажем решения нескольких примеров. Вычисление определителя квадратной матрицы второго порядка - формула и пример. Необходимо коэффициент при x1 во всех уравнениях кроме первого привести к 0.