Оптические свойства кривых второго порядка

КАТЕГОРИИ: Обзор кривых второго порядка Прямая на плоскости является линией первого порядка, так как определяется уравнением первой степени с двумя переменными. Рассмотрим кривые второго порядка, то есть линии, определяемые в декартовых координатах уравнениями второй степени. Установлено, что таких линий всего четыре: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Заметим, что коэффициенты при х 2 и у 2 в уравнении окружности одинаковы. Если же в уравнении коэффициенты при х 2 и у 2 будут разными по величине, но одного знака, то такое уравнение будет определять эллипс. Простейшее каноническое уравнение эллипса имеет вид: 15 Чтобы построить такой эллипс, отметим точки пересечения эллипса с осями координат: А 1 a, 0А 2 - а, 0В 1 0, bВ 2 0, -bназываемые вершинами эллипса. Из уравнения 15 эллипса видно, что эллипс — фигура, симметричная относительно обеих осей и начала координат. Для точного построения эллипса используем определение: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная. По определению сумма остается постоянной для любой точки М х, у эллипса. Если центр симметрии эллипса расположен в точке С х 0, у 0 и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение эллипса: 16 В школьном курсе гипербола рассматривается как график обратной пропорциональной зависимости. Рассмотрим более общий случай гиперболы, начав с ее определения: Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек есть величина постоянная. Простейшее каноническое уравнение гиперболы имеет вид: 17 Как видно, коэффициенты при х 2 и у 2 имеют разные знаки. Точки А 1 а,0А 2 — а,0В 1 0,b и В 2 0,—b называют вершинами гиперболы. Построим прямоугольник со сторонами, проходящими через вершины А 1, А 2, В 1, В 2 параллельно координатным осям. Диагонали этого прямоугольника называют асимптотами гиперболы. Очевидно, уравнения асимптот и Через вершины А 1 а, 0 и А 2 - а, 0 проведем теперь две симметричные относительно координатных осей ветви гиперболы так, чтобы по мере удаления от центра симметрии — точки О 0,0 — они приближались бы к асимптотам, но не пересекали бы их. Если же центр симметрии гиперболы расположен в точке С х 0, у 0 и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид:Укажем, что гипербола является и графиком дробно-линейной функции. Знак плюс перед коэффициентом 2р соответствует параболе, ветви которой направлены вверх, знак минус — вниз. Можно рассмотреть параболу с осью симметрией, параллельной оси Ох. Дадим определение, которое часто фигурирует как определение параболы. Параболой называется оптические свойства кривых второго порядка точек плоскости, равноудаленных от данной прямой и от данной точки. В заключение данного обзора кривых второго порядка отметим, оптические свойства кривых второго порядка эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы широко используется в инженерном деле. В частности, оптические свойства параболы используется при конструировании прожекторов, антенн, телескопов. Такие термины, как «эллиптическая орбита», «эллипсоид инерции», «параболическая траектория», «параболическое зеркало» и т. Вопросы для самоконтроля Прежде чем Вы приступите к выполнению контрольного задания, попробуйте ответить на предлагаемые вопросы для самоконтроля. Если Вы будете испытывать затруднения при ответе на конкретный вопрос, попытайтесь найти на него ответ, вернувшись к теоретической части курса. Было бы лучше, если бы Вы воспользовались любым стандартным учебником по аналитической геометрии. Что можно сказать о взаимном расположении векторов: ,? Как расположены векторы в декартовой системе координат на плоскости: ; ; ;? Среди векторов укажите равные векторы, коллинеарные векторы, векторы одинаковой длины, взаимно перпендикулярные векторы:. Как найти точку пересечения двух линий на плоскости, если уравнения этих линий даны? Каков геометрический смысл системы и ее решения? Какое множество точек на плоскости определяется системой неравенств: 1 2? Какое множество точек в пространстве определяется системой неравенств:? Найти длины и уравнения его сторон, угол при вершине B, площадь оптические свойства кривых второго порядка, уравнение описанной окружности. Записать систему неравенств, определяющих область треугольника. При решении этой задачи будут использованы формулы, полученные в п. Уравнение АС: или 3 Для вычисления угла при вершине В найдем координаты векторов ивыходящих из точки В и совпадающих со сторонами треугольника: ; Тогда величина искомого угла найдется из формулы:. Здесь определитель равен положительному числу 28, поэтому следует взять знак плюс. Найдем координаты середин двух сторон АВ и Оптические свойства кривых второго порядка и проведем через эти точки прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Итак, пусть точка D — середина АВ. Центр окружности точку Р найдем как точку пересечения найденных перпендикуляров из системы:. Уравнение описанной окружности — или. Составим систему неравенств, определяющих область треугольника АВС. Оптические свойства кривых второго порядка точки В —2, 1 позволяют выбрать нужную полуплоскость:т. Система неравенств определяет область треугольника АВС. Даны точки М 1 —1,2,0М 2 1,—2,1М 3 3,1,—1М 4 3,0,1. Составить уравнение плоскости, проходящей оптические свойства кривых второго порядка 1 точки М 1, М 2, М 3; 2 точку М 4 параллельно плоскости М 1 М 2 М 3; 3 точку М 4 перпендикулярно вектору. Вычислить объем пирамиды М 1М 2М 3М 4. При решении этой задачи используются формулы из п. Подставив координаты точек М 1, М 2, М оптические свойства кривых второго порядка в полученное уравнение, убедимся, что уравнение составлено верно. Какую линию определяет уравнение? Разделим обе части на 400: или. Построим эллипс, оси симметрии которого оптические свойства кривых второго порядка через точку Оптические свойства кривых второго порядка 3,—1 параллельно координатным осям. Это уравнение эллипса с центром симметрии в точке С —1,2. Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 185; Не нашли нужную информацию? Орг - 2014-2016 год. Использование материала без проставленной ссылки на источник не красиво!

Также смотрите:

Комментарии:
  • Наталья Лактюхина

    12.12.2015

    Простейшее каноническое уравнение гиперболы имеет вид: 17 Как видно, коэффициенты при х 2 и у 2 имеют разные знаки. Элементарные свойства кривых второго порядка В дальнейшем, если не оговорено противное, кривая второго порядка подразумевается невырожденной и не мнимой.